Потенциальная энергия силы упругости формула

Читайте также:

  1. Блок 2. Импульс тела. Работа. Мощность. Энергия. Законы сохранения. Простые механизмы. КПД .
  2. В каждом кубическом сантиметре пространства скрыта энергия триллиона атомных бомб
  3. Внешняя энергия
  4. Внутренняя энергия
  5. Внутренняя энергия
  6. Внутренняя энергия
  7. Внутренняя энергия и теплоемкость идеального газа
  8. Внутренняя энергия и теплоемкость идеального газа.
  9. Внутренняя энергия моля твердого тела
  10. Внутренняя энергия системы. Первое начало термодинамики. Элементарное количество теплоты и работы.
  11. Внутренняя энергия системы. Теплообмен. Работа и количество теплоты. Первое начало термодинамики. Работа, совершаемая термодинамической системой при изменениях объема.
  12. Геотермальная энергия

Гравитационная потенциальная энергия

Найдем потенциальную энергию тела, поднятого над землей. За уровень отсчета возьмем любой удобный горизонтальный уровень (О). Пусть тело массой m находится над этим уровнем на высоте h (рис. 9.3).

Рис. 9.3.Потенциальная энергия тела, поднятого над уровнем отсчета

Согласно определению, потенциальная энергия тела равна работе, совершенной силой тяготения при переходе тела с высоты h на уровень отсчета (h = 0):

Формула (9.3) определяет потенциальную энергию, связанную с гравитационным взаимодействием.

Существует еще один вид потенциальной энергии, связанный с упругим взаимодействием молекул при небольших деформациях почти всех тел. Для наглядности рассмотрим сжатую пружину (рис. 9.4, а), которую мы возвращаем в исходное (недеформированное) состояние (рис. 9.4, б), придерживая рукой. При этом на руку действует сила упругости, совершающая работу. Выберем в качестве уровня отсчета положение, в котором пружина не деформирована (б). Тогда, согласно определению, совершенная силой упругости работа равна потенциальной энергии деформированной пружины. Вычислим ее величину.

Рис. 9.4.Потенциальная энергия пружины: а) сжатая пружина, б) пружина в исходном состоянии

В соответствии с законом Гука сила упругости, действующая на руку, пропорциональна величине деформации (х) и направлена в сторону уменьшения деформации Fy =kx. Пусть пружина, распрямляясь, переместила руку на небольшой отрезок dx. Тогда она совершила работу

Полная работа вычисляется с помощью определенного интеграла:

Потенциальная энергия деформированной пружины определяется такой же формулой:

где k — жесткость пружины; х — ее деформация.

Из приведенных примеров видно, что энергию можно накопить в форме потенциальной энергии (поднять тело, сжать пружину) для последующего использования. Кроме того, следует заметить, что, если для кинетической энергии тела (частицы) существует единое универсальное выражение, то для потенциальной энергии такого выражения нет; аналитический вид формул для вычисления потенциальной энергии зависит от рассматриваемых сил. Потенциальная энергия всегда связана с той или иной силой, действующей со стороны одного тела на другое. Например, Земля силой тяжести действует на падающий предмет, сжатая пружина — на шарик, натянутая тетива — на стрелу. Потенциальная энергия это не то, что присуще самому телу: она всегда связана со взаимодействием тел.

Читайте также:  Цифровой тахометр с датчиком холла

Потенциальная энергия — это энергия, которой обладает тело благодаря своему положению по отношению к другим телам, или благодаря взаимному расположению частей одного тела.

Рассмотрим случай, когда в процессе движения тела работу совершают только консервативные силы. Тогда можно записать:

Таким образом, в данном случае сумма кинетической и потенциальной энергий тела осталась неизменной. Эта сумма называется полной механической энергией тела.

Полной механической энергиейтела называется сумма его потенциальной и кинетической энергий:

Мы получили закон сохранения механической энергии.

Если в системе действуют только консервативные силы, то полная механическая энергия входящих в систему тел не изменяется: Е = const.

Иными словами, для любых двух моментов времени полные механические энергии одинаковы:

Закон сохранения энергии в механике имеет ограниченный характер. Он не утверждает, что механическая энергия всегда

сохраняется, а лишь указывает условие, при котором такое сохранение имеет место: работу должны совершать только консервативные силы. В этом случае при движении тела происходит переход кинетической энергии в потенциальную или наоборот.

Если при движении на тело действуют не консервативные силы, которые совершают работу, то полная механическая энергия не сохраняется. В этом случае ее изменение равно этой работе:

1) Падение камня

Тело падает на землю с высоты ho без начальной скорости, а силой сопротивления воздуха можно пренебречь (рис. 9.5). На тело действует только сила тяжести, которая является консервативной. Следовательно, полная механическая энергия сохраняется.

Рис. 9.5.При падении тела его потенциальная энергия переходит в кинетическую

Запишем закон сохранения энергии для двух положений: начального (1) и конечного (2) — тело подлетело к земле:

В исходном положении скорость движения равна нулю и тело обладает только потенциальной энергией: El = mghQ. При падении камня потенциальная энергия уменьшается, но увеличивается его кинетическая энергия. В конечной точке траектории высота равна нулю, скорость движения максимальна (ук) и тело обладает только кинетической энергией .

Подставив эти значения в закон сохранения, получим:

В промежуточных точках траектории тело обладает и кинетической, и потенциальной энергиями, сумма которых остается постоянной:

2) Движение велосипедиста по холмистой местности

Пусть велосипедист начинает скатываться с вершины холма и, пройдя ложбину, поднимается по инерции на соседний холм (рис. 9.6). Допустим, что сопротивлением воздуха и трением качения можно пренебречь. Тогда на велосипедиста действуют две силы: консервативная сила тяжести (mg) и сила нормального давления со стороны дороги (N). Последняя сила перпендикулярна направлению движения и работы не совершает. Поэтому полная механическая энергия велосипедиста сохраняется: Ек + Еn. = const.

Читайте также:  Зернодробилка для домашнего хозяйства своими руками

При спуске с холма потенциальная энергия переходит в кинетическую, которая достигает максимума у подножия холма. Далее велосипедист начинает вкатываться на другой холм. При этом кинетическая энергия переходит в потенциальную.

Если высота второго холма меньше высоты первого, то при подъеме на его вершину велосипедист израсходует не всю кинетическую энергию. Поэтому он минует вершину и скатится с противоположного склона второго холма.

Рис. 9.6.Велосипедист, съезжающий с холма

Если высота второго холма больше высоты первого, то велосипедист израсходует всю кинетическую энергию, не достигнув вершины, и остановится. Это произойдет на высоте, равной первоначальной. Для того, чтобы перевалить через вершину, велосипедист должен увеличить механическую энергию за счет работы ног.

В реальном случае велосипедист испытывает действие силы трения, которая совершает отрицательную работу. Поэтому, если велосипедист не работает ногами, полная механическая энергия сохраняться не будет:

Для того, чтобы поддерживать механическую энергию неизменной, велосипедист должен компенсировать отрицательную работу силы трения положительной работой своих мышц

A мышц = A трения. (9.9)

Отсюда следует, что, чем меньше сила трения, тем меньшая работа требуется от мышц, тем меньше утомление и выше результаты. Поэтому фирмы, занимающиеся производством спортивной техники и спортивной одежды, ведут постоянные исследования, направленные на уменьшение силы трения.

В некоторых случаях механическая энергия сохраняется при передаче энергии от одного тела к другому. Например, потенциальная энергия, запасенная в натянутой тетиве лука, преобразуется в кинетическую энергию стрелы.

Дата добавления: 2015-05-09 ; Просмотров: 447 ; Нарушение авторских прав? ;

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Любое упруго деформированное тело обладает потенциальной энергией, так как изменяется взаимное расположение отдельных частей тела. Рассмотрим случай растяжения пружины.

Растяжение будем производить очень медленно, чтобы силу , с которой мы действуем на пружину, можно было считать все время равной по модулю упругой силе. Тогдагдек, х – соответственно жесткость и удлинение пружины. Тогда работа, которую нужно совершить, чтобы вызвать удлинение (или сокращение) х пружины, равна

(8.12)

Эта работа идет на увеличение потенциальной энергии пружины. Следовательно, зависимость потенциальной энергии пружины от удлинения х имеет вид

, (8.13)

если считать, что потенциальная энергия недеформированной пружины равна нулю.

Потенциальная энергия упруго деформированного стержня равна

, (8.14)

где – объем стержня.

Отношение энергии к тому объему, в котором она заключена, называетсяплотностью энергии u. Тогда – плотность энергии упругой деформации при растяжении (или сжатии).

Аналогично нетрудно получить, что плотность энергии деформации при сдвиге равна .

6. Кручение

Деформации кручения и изгиба являются деформациями неоднородными. Это значит, что в этих случаях деформации внутри тела меняются от точки к точке.

Читайте также:  Виды оцинковки кузова авто

Возьмем однородную проволоку, верхний конец ее закрепим, а к нижнему концу приложим закручивающие силы. Они создадут вращающий момент относительно продольной оси проволоки. При этом каждый радиус нижнего основания повернется вокруг продольной оси на угол . Такая деформация называется кручением. Закон Гука для деформации кручения имеет вид

, (8.15)

где – модуль кручения, постоянная для данной проволоки. Модуль кручения зависит не только от материала, но и от геометрических размеров проволоки.

Выведем выражение для модуля кручения.

Пусть имеется цилиндрическая трубка радиуса . Причем толщина ееочень мала по сравнению с радиусом. Площадь сечения трубки равна . Обозначим черезкасательное напряжение в том же основании. Тогда момент сил, действующий на это основание, будет. При закручивании совершается работа.

Разделим ее на объем трубки . Найдем плотность упругой энергии при деформации кручения

(8.16)

Найдем эту же величину иначе.

Мысленно вырежем из трубки бесконечно короткую часть (рис.8.5).

В результате кручения бесконечно малый элемент трубки ABDC перейдет в положение . Это есть сдвиг. Таким образом, деформацию кручения можно рассматривать как неоднородный сдвиг. Плотность упругой энергии при сдвиге равна

(8.17)

Приравнивая его выражению (8.16), находим искомое соотношение

(8.18)

Если стенка трубки имеет конечную толщину, то модуль найдется интегрированием последнего выражения по. Это дает где – внутренний радиус трубки,– внешний радиус трубки.

Для сплошной проволоки радиуса модуль кручения .

Контрольные вопросы

Что называется деформацией? Какие деформации называются упругими? Приведите примеры упругих деформаций.

Какова физическая сущность упругих сил?

Сформулируйте закон Гука? Когда он справедлив?

Дайте объяснение качественной диаграмме напряжений. Что такое предел пропорциональности, упругости и прочности?

Что такое упругий гистерезис и упругое последействие?

Каков физический смысл модуля Юнга и модуля сдвига?

Что такое упругое последействие?

Выведите выражения для деформаций при всестороннем растяжении.

Что называется коэффициентом Пуассона?

Определите энергию деформированного тела.

Что называется плотностью упругой энергии? Получите формулы этой энергии при растяжении и сдвиге.

Если к растянутой пружине прикрепить некоторое тело, то пружина будет действовать на него с некоторой силой, под действием которой тело начнет смещаться, то есть будет совершать работу.

Раз пружина способна совершать работу, то она обладает потенциальной энергией.

Формула нахождения потенциальной энергии деформированной пружины:

— коэффициент жёсткости;
— расстояние, на которое растягивают пружину;

Таким не хитрым образом мы познакомились с «потенциальная энергия деформированной пружины»!