Определение модуля юнга из растяжения

Деформация тела, неисчезающая по прекращению действия на него силы, называется пластической, а если исчезает — упругой. Деформируемое тело, благодаря изменению в нём молекулярных сил взаимодействия, противодействует силе, вызывающей деформацию. Сила, с которой деформируемое тело противодействует силе, вызывающей деформацию, называется силой упругости. Величина, измеряемая силой упругости, приходящейся на единицу площади, называется механическим напряжением:

Единицы измерения механического напряжения 1Па и 1 Н/мм2. Допустим, что на закрепленный стержень (трос, провод) действуют силой F. От того стержень растянется, длина его увеличится на и станет . Разность — = называется абсолютным удлинением, которая показывает на сколько изменилась при деформации вся длина тела. Отношение называется относительным удлинением.

Экспериментально установлено, что для данного материала в пределах упругой деформации отношение механического напряжения к относительному удлинению есть величина постоянная. Это отношении называется модулем Юнга.

Различные материалы имеют различный модуль Юнга. Например, модуль Юнга стальной проволоки марки СТ — 3 приблизительно равен Н/мм2, меди Н/мм2. Модуль Юнга численно равен механическому напряжению, которое надо приложить к стержню, чтобы растяжением увеличить его длину в два раза.

Заменив в формуле (2) механическое напряжение (1), получим формулу закона Гука:

Сила упругости, возникающая при упругой деформации растяжения, прямо пропорциональна относительному удлинению деформированного тела (изменением S пренебрегаем). С использованием коэффициента жесткости k Закон Гука запишется так:

То есть сила упругости, возникающая при упругой деформации, прямо пропорциональна величине деформации x (смещения) и направлена в сторону, противоположную этому смещению (поэтому в выражении и появился минус).

Закон Гука имеет место только в пределах упругой деформации. Он является одним из основных в теории упругости.

Используя уравнение (3), получим формулу для вычисления модуля Юнга:

Способность материала сопротивляться разрушению, называется прочностью. Наибольшее напряжение, при котором материал при деформации не разрушается, называется пределом прочности пр. Так, предел прочности стальной проволоки — Н/м2.Чтобы не допускать разрушения деталей машин, нагрузку не доводят до предела прочности материала. С этой целью для них установлены допускаемые напряжения дн, которые составляют лишь некоторую часть от предела прочности их материала. Число, показывающее во сколько раз предел прочности больше допускаемого напряжения, называется коэффициентом запаса прочности:

Механические свойства материала при разных деформациях определяют опытным путём специальными устройствами, в которых автоматически записывается график деформации (рис.1).

Для анализа разобьём график на части.

Участок 0 — 1. На этом участке удлинение прямо пропорционально напряжению

), т.е. выполняется закон Гука.

деформация тело сила напряжение

• 1. Участок 1 — 2. На этом участке (он мал) закон Гука уже не выполняется, но деформация ещё упругая, т.е. если снять деформирующую силу, то деформация исчезнет и тело.
• 2. Участок 2 — 3. На этом участке упругая деформация постепенно исчезает, переходя в пластическую.
• 3. Участок 3 — 4. Начиная с точки три, деформация начинает увеличиваться без заметного увеличения механического напряжения: деформирующая сила остаётся постоянной, а площадь сечения образца из-за его удлинения уменьшается, что даёт мало заметное увеличение (область текучести).
• 4. За пределом прочности (точка 5) в образце образуется шейка, и он разрушается.

Если на изделие из определенного материала воздействовать некой силой, то он начинает сопротивляться этому действию: сжиматься, растягиваться или изгибаться. Способность к такому противостоянию можно оценить и выразить математически. Название этой прочностной характеристики – модуль упругости.

Параметр для каждого материала различный, и характеризует его прочность. Пользуются величиной при разработке конструкций, деталей и других изделий, с целью предотвращения нарушения их целостности.

Общее понятие

При любом внешнем воздействии на предмет, внутри его возникают встречные силы, компенсирующие внешние. Для идеальных систем, находящихся в равновесии, силы равномерно распределены и равны, что позволяет сохранить форму предмета. Реальные системы не подчиняются таким правилам, что может привести к их деформации. Оценивая прочность материалов, говорят об их упругости.

Определение модуля Юнга твердых тел

Упругие материалы – это те, которые после прекращения внешнего воздействия, восстанавливают свою первоначальную форму.

Внутренние силы распределены равномерно по всей площади поперечного сечения предмета, имеют свою интенсивность, которая выражается количественно, называется напряжением (р) и измеряется в Н/м 2 или по международной системе Па.

Напряжение имеет свою пространственную направленность: перпендикулярно площади сечения предмета – нормальное напряжение (σ_z) и лежащая в плоскости сечения – касательное напряжение (τ_z).

Опыт с пружинными весами

Модуль упругости (Е) как единицу измерения отношения материала к линейной деформации, и нормальное напряжение связывает формула закона Гука:

где ε – относительное удлинение или деформация.

Преобразовав формулу (1) для выражения из нее нормального напряжения, можно увидеть, что Е является постоянной при относительном удлинении, и называется коэффициентом жесткости, а его единицы измерения Па, кгс/мм 2 или Н/м 2 :

Модуль упругости – это единица измерения отношения напряжения, создаваемого в материале, к линейной деформации, такой как, растяжение и сжатие.

В справочных материалах размерность модуля упругости выражается в МПа, так как деформация имеет довольно малое значение. А зависимость между этими величинами обратно пропорциональная. Таким образом, Е имеет высокое значение, определяемое 107-109.

Способы расчета модуля упругости

Известны также и другие характеристики упругости, которые описывают сопротивление материалов к воздействиям как к линейным, так и отличным от них.

Величина, которая характеризует сопротивление материала к растяжению, то есть увеличению его длины вдоль оси, или к сжатию – сокращению линейного размера, называется модулем продольной упругости.

Обозначается как Е и выражается в Па или ГПа.

Показывает зависимость относительного удлинения от нормальной составляющей cилы (F) к ее площади распространения (S) и упругости (Е):

Параметр также называют модулем Юнга или модулем упругости первого рода, в таблице показаны величины для материалов различной природы.

Модулем упругости второго рода называют модуль сдвига (G), который показывает сопротивление материала к сдвигающей силе (FG). Может быть выражена двумя способами.

• Через касательные напряжения (τ_z) и угол сдвига (γ):

• Через соотношение модуля упругости первого рода и коэффициента Пуасонна (ν):

Определенное в результате экспериментов значение сопротивления материала изгибу, называется модулем упругости при изгибе, и вычисляется следующим образом:

где F_р – разрушающая сила, Н;

L – расстояние между опорами, мм;

b, h – ширина и толщина образца, мм;

ƒ₁, ƒ₂– прогибы, образованные в результате нагрузки F₁ и F₂.

При равномерном давлении по всему объему на объект, возникает его сопротивление, называемое объемным модулем упругости или модулем сжатия (К). Выразить этот параметр можно, практически через все известные модули и коэффициент Пуассона.

Определение модуля упругости щебеночного основания

Параметры Ламе также используют для описания оценки прочности материала. Их два μ – модуль сдвига и λ. Они помогают учитывать все изменения внутри материала в трехмерном пространстве, тогда соотношения между нормальным напряжением и деформацией будет выглядеть следующим образом:

σ = 2με + λtrace(ε)I (7)

Оба параметра могут быть выражены из следующих соотношений:

Модуль упругости различных материалов

Модули упругости для различных материалов имеют совершенно разные значения, которые зависят от:

• природы веществ, формирующих состав материала;
• моно- или многокомпонентный состав (чистое вещество, сплав и так далее);
• структуры (металлическая или другой вид кристаллической решетки, молекулярное строение прочее);
• плотности материала (распределения частиц в его объеме);
• обработки, которой он подвергался (обжиг, травление, прессование и тому подобное).

Так, например, в справочных данных можно найти, что модуль упругости для алюминия составляет диапазон от 61,8 до 73,6 ГПа. Видимо, это и зависит от состояния металла и вида обработки, потому как для отожженного алюминия модуль Юнга – 68,5 ГПа.

Его значение для бронзовых материалов зависит не только от обработки, но и от химического состава:

• бронза – 10,4 ГПа;
• алюминиевая бронза при литье – 10,3 ГПа;
• фосфористая бронза катанная – 11,3 ГПа.

Модуль Юнга латуни на много ниже – 78,5-98,1. Максимальное значение имеет катанная латунь.

Сама же медь в чистом виде характеризуется сопротивлением к внешним воздействиям значительно большим, чем ее сплавы – 128,7 ГПа. Обработка ее также снижает показатель, в том числе и прокатка:

• литая – 82 ГПа;
• прокатанная – 108 ГПа;
• деформированная – 112 ГПа;
• холоднотянутая – 127 ГПа.

Близким значением к меди обладает титан (108 ГПа), который считается одним из самых прочных металлов. А вот тяжелый, но ломкий свинец, показывает всего 15,7-16,2 ГПа, что сравнимо с прочностью древесины.

Для железа показатель напряжения к деформации также зависит от метода его обработки: литое – 100-130 или кованное – 196,2-215,8 ГПа.

Чугун известен своей хрупкостью имеет отношение напряжения к деформации от 73,6 до 150 ГПа, что соответствует от его виду. Тогда как для стали модуль упругости может достигать 235 ГПа.

Модули упругости некоторых материалов

На величины параметров прочности влияют также и формы изделий. Например, для стального каната проводят расчеты, где учитывают:

Интересно, что этот показатель для каната будет значительно ниже, чем для проволоки такого же диаметра.

Стоит отметить прочность и не металлических материалов. Например, среди модулей Юнга дерева наименьший у сосны – 8,8 ГПа, а вот у группы твердых пород, которые объединены под названием «железное дерево» самый высокий – 32,5 ГПа, дуб и бук имеют равные показатели – 16,3 ГПа.

Среди строительных материалов, сопротивление к внешним силам у, казалось бы, прочного гранита всего 35-50 ГПа, когда даже у стекла – 78 ГПа. Уступают стеклу бетон – до 40 ГПа, известняк и мрамор, со значениями 35 и 50 ГПа соответственно.

Такие гибкие материалы, как каучук и резина, выдерживают осевую нагрузку от 0,0015 до 0,0079 ГПа.

Как определить модуль упругости стали

Выяснить модули упругости для различных марок стали можно несколькими путями:

1. по справочным данным из таблиц;
2. экспериментальными методами для небольшого образца;
3. расчетными методами, зная необходимые данные.

Жесткость стали зависит от ее химического состава и вида кристаллической решетки, от плотности, достигнутой в результате обработки. Прочность же ее конструкций определяется такими важными факторами, как параметры изделия, в том числе габариты, эксплуатационные нагрузки, и их длительность. При расчетах, выполняемых по нормированным методикам, результат осознанно завышают, чтобы предупредить возможные аварии и поломки.

Тем не менее, устойчивость стали к деформации определяется изначально ее маркой, то есть наличием примесей в сплаве.

В таблице приведены модули упругости стали наиболее популярных марок, а модуль сдвига ее составляет – 80-81 ГПа.

Из таблицы видно, что наименьшее значение прочности у стали 45, 25Г2С, 30ХГ2С, а у нержавеющей стали самое высокое – 235 ГПа.

Экспериментальный метод определения заключается в определении относительного удлинения небольшого стального образца на установке, с последующим расчетом.

В основе метода лежит заключение, что растяжение образца стали до предела упругости, подчиняется закону Гука (1). Зная приложенную силу (F) и площадь детали (А), выяснив ее удлинение (Δl) можно рассчитать Е:

Расчеты ведут в мм и МПа.

Для проектирования конструкций необходимо всегда знать или просчитывать не менее двух разных модулей упругости. Исходя из коэффициента жесткости можно перейти к другим видам сопротивления к воздействию извне для стали: упругости при изгибе и объемной.

Приборы и принадлежности:

1. Установка для исследования деформаций твёрдого тела.

4. Гири 2 и 4 кг.

Краткая теория

Деформацией твёрдого тела называют изменения его размеров и формы, обычно сопровождающееся и изменением объёма. В некоторых случаях, например, при деформации сдвига, изменение объёма тела может и не наблюдаться.

Деформации вызывают действием на него внешних сил или изменением температуры. Изучение физической природы процессов деформации является задачей молекулярной и атомной физики. Отметим лишь в общих чертах, что при деформации происходит смещение частиц, находящихся в узлах кристаллической решётки твёрдых тел из первоначальных положений равновесия в новые. Этому смещению препятствуют силы взаимодействия между частицами. В результате в деформированном теле возникают внутренние упругие силы.

Если после прекращения действия сил, вызвавших деформацию, она исчезает, то такую деформацию называют упругой. Неупругие деформации твёрдого тела сопровождаются необратимой перестройкой его кристаллической решётки. В этом случае наблюдаются остаточные, или пластическиедеформации. Упругие деформации имеют место тогда, когда внешние силы, вызывающие деформацию, не превосходят некоторого определённого для каждого конкретного тела предела, называемого пределом упругости. При установившейся упругой деформации результирующая внутренних сил, возникающая в теле, в любом сечении тела уравновешивает действующие на тело внешние силы. Поэтому, при установившейся упругой деформации величина внутренних сил может быть определена по величине внешних сил, приложенных к телу.

Величину внутренних упругих сил характеризуют напряжением, численно равным отношению результирующей упругих сил к единице площади сечения тела S, к которому эта сила приложена: (1). Когда сила F направлена по нормали к поверхности S, напряжение называют нормальным, если же сила направлена по касательной к этой поверхности, то напряжение называют тангенциальным (касательным). Мерой деформации является относительная деформация ε, равная отношению абсолютной деформации Δx к первоначальному значению величины х, характеризующей размеры или объём тела: (2) .

Английский физик Р. Гук в 1574 – 1575 гг. опытным путём установил, что напряжения, возникающие в упруго деформированном теле, прямо пропорциональны величине относительной деформации: (3), где k – коэффициент пропорциональности, называемый модулем упругости. Соотношение (3) выражает закон Гука для любого вида упругих деформаций. Все возможные виды упругих деформаций твёрдого тела могут быть сведены к двум основным: деформации растяжения (или сжатия) и деформации сдвига. Упругая деформация продольного растяжения, например, проволоки, проявляется в изменении ее длины при изменении действующего на неё напряжения. Для этого к проволоке должна быть приложена растягивающая сила, действие которой равномерно распределено по всему сечению. Относительную деформацию ε в этом случае называют относительным удлинением, при этом закон Гука имеет вид: (4), где модуль упругости k = E получил название модуля Юнга. Модуль Юнга является постоянной величиной для данного вещества, и поэтому его значение зависит только от материала, из которого изготовлено деформируемое тело. Из формул (1) и (4) (сравнивая правые части уравнений) следует: (5).

Методика эксперимента

В данной работе деформируемым телом является тонкая проволока, к которой подвешивается груз весом Р. Следовательно, при установившейся упругой деформации величина внутренних упругих сил F уравновешивается внешней силой Р, действующей на проволоку. Таким образом, формулу (5) можно записать в виде: (6), где P – вес груза, l – длина проволоки, S – площадь поперечного сечения проволоки (πR 2 , R – радиус проволоки), Δl – удлинение проволоки.

Входящие в формулу (6) величины P, l, и S определяются достаточно просто. Для нахождения удлинения проволоки Δl в данной работе применяется установка, изображённая на рисунке 1: 1 – линейка, снабжённая нониусом – 2 (элементы штангенциркуля), Р₀ – постоянная нагрузка,3 – груз, подвешенный при измерениях, 4 – исследуемая проволока.

Дата добавления: 2016-11-18 ; просмотров: 373 | Нарушение авторских прав