Модуль кручения единицы измерения

Если один конец длинного однородного стержня закрепить, а к другому приложить закручивающий момент сил М, то этот конец повернется на угол , причем, согласно закона Гука:

. (1)

Постоянная величина носит название модуля кручения. Модуль кручения связан с модулем сдвига материала стержня G соотношением:

, (2)

где r – радиус, а L – длина стержня. Отметим, что простая линейная зависимость между величинами М и , даваемая формулой (1), имеет место только при сравнительно небольших значениях М. В общем случае зависимость может быть не только нелинейной, но и неоднозначной.

I. Определение модуля кручения стержня статическим методом

Принадлежности: исследуемый стержень, отсчетная труба со шкалой, рулетка, микрометр, набор грузов.

Экспериментальная установка изображена на рис.1. верхний конец вертикального стержня С жестко закреплен на стойке, а нижний соединен с диском Д. Момент М, закручивающий стержень, создают две навитые на диск и перекинутые через блоки Б нити, к концам которых подвешиваются одинаковые грузы Г. Диск снабжен зеркальцем З. Для определения угла закручивания стержня надо зрительную трубу направить на зеркальце и добиться того, чтобы в нее было видно отражение шкалы, укрепленной на том же штативе, что и труба. Наблюдая через трубу за смещением видимого участка шкалы при закручивании стержня, можно определить угол закручивания .

Рис.1. Схема установки для

определения модуля кручения

Измерения

Установите зрительную трубу таким образом, чтобы в нее было четко видно отражение шкалы в зеркальце З.

Увеличивая нагрузку на нитях Н, снимите зависимость . Проделайте эксперимент в обратном порядке, постепенно уменьшая величину закручивающего момента. Весь комплекс измерений проделайте не менее трех раз.

Результаты эксперимента изобразите графически в координатах . При помощи этих графиков определите величину ƒ и оцените допущенную при этом погрешность.

Используя формулу (2), вычислите модуль сдвига G. Сверьте полученное таким образом значение с табличным.

II. Определение модуля сдвига при помощи крутильных колебаний

Принадлежности: проволока из исследуемого материала, грузы, секундомер, микрометр, рулетка, масштабная линейка.

Экспериментальная установка состоит из длинной вертикально висящей проволоки, к нижнему концу которой прикреплен горизонтальный металлический стержень с двумя симметрично расположенными грузами. Их положение на стержне можно фиксировать.

Верхний конец проволоки зажат в цангу и при помощи специального приспособления вместе с цангой может проворачиваться вокруг вертикальной оси. Таким образом в системе можно возбудить крутильные колебания. Запишем для этого случая уравнение движения:

. (3)

Здесь М – момент сил, обязанный своим происхождением упругим деформациям, J – момент инерции стержня с грузами, — угол поворота стержня.

Если амплитуда колебаний невелика, то для определения момента сил М можно воспользоваться законом Гука в форме (1). Момент М в этом случае вызван деформацией проволоки и стремиться уменьшить, а не увеличить угол . В формуле (1) необходимо поэтому переменить знак. После подстановки (1) формула (3) приобретет вид:

. (4)

; отсюда:

, (5)

где амплитуда и фаза определяются начальными условиями. Таким образом, является угловой частотой крутильных колебаний стержня, период Т которых равен:

. (6)

Следует заметить, что последняя формула получена для незатухающих колебаний, в то время как на самом деле колебания стержня затухают. Если, однако, затухание невелико, т.е. изменение амплитуды колебаний за период много меньше самой амплитуды, то формулой (6) можно пользоваться. Критерием ее применимости служит неравенство:

где п – число полных колебаний, после которого амплитуда уменьшается в 2-3 раза.

Отметим, что период Т, как видно из формулы (6), не зависит от амплитуды . Однако при больших амплитудах закон Гука нарушается, и такая зависимость может проявиться. Таким образом, вторым условием применимости описываемого метода является соблюдение равенства:

Измерения

Прежде всего установите диапазон амплитуд, в котором выполняется условие (8). Для этого укрепите грузы на некотором расстоянии от проволоки и возбудите в системе крутильные колебания. Измеряя время нескольких (не менее 10-ти) полных колебаний, найдите период Т₁. уменьшая амплитуду вдвое, тем же способом найдите соответствующий период Т₂. если Т₁ = Т₂, то для проведения измерений можно выбрать любую амплитуду не больше первой. Если же окажется, что , то амплитуду необходимо уменьшить до такого значения , начиная с которого для всех 2 и Т 2 . разработка этого вопроса предоставляется читателю.

Зная ƒ, найдите значение модуля сдвига G по формуле (2) и оцените допущенную при этом погрешность.

Контрольные вопросы

Выведите формулу (2).

При определении модуля сдвига статическим способом зависимость рекомендуется снять как при возрастающих, так и при убывающих значениях М. Почему? Совпадут ли оба полученные таким образом результаты, если трение в осях блоков Б будет значительным?

При определении модуля сдвига динамическим способом указывалось, что период колебаний не зависит от амплитуды только при сравнительно небольших значениях последней. Объясните качественно, как будет меняться период при возрастании амплитуды?

Какому методу определения G вы отдадите предпочтение на практике, статическому или динамическому?

Как при динамическом определении G измерить величины L₁ и L₂? Имеет ли смысл выбирать их малыми?

Как оценить ошибку измерений по графику зависимости Т 2 от L 2 ?

Список литературы

И.В.Савельев. Курс общей физики. т.1. Механика, колебания и волны, молекулярная физика. М. Наука,1973. §§ 38,39,64,86.

С.П.Стрелков. Механика. М. Наука, 1965. §§82,84,86.

С.Э.Хайкин. Физические основы механики. М. Наука, 1971. §§89,106,108,136,137.

Кручение — один из видов деформации тела. Возникает в том случае, если нагрузка прикладывается к телу в виде пары сил (момента) в его поперечной плоскости. При этом в поперечных сечениях тела возникает только один внутренний силовой фактор — крутящий момент. На кручение работают пружины растяжения-сжатия и валы. При деформации кручения смещение каждой точки тела перпендикулярно к её расстоянию от оси приложенных сил и пропорционально этому расстоянию.

Деформацию кручения можно наблюдать, если на стержень, один конец которого закреплен, действует пара сил, лежащих в плоскости, перпендикулярной оси стержня. При кручении отдельные слои тела остаются параллельными, но поворачиваются друг относительно друга на некоторый угол. Деформация кручения представляет собой неравномерный сдвиг. Деформации кручения возникают при завинчивании гаек, при работе валов машин.

Пример деформации кручения цилиндрического стержня

Если проволоку или стержень, закрепленные с одного конца, закручивать, прилагая к другому концу пару сил F с моментом, равным М, то стержень (проволока) претерпевает деформацию кручения, при которой одно его основание поворачивается по отношению к другому, фиксированному, на некоторый угол φ – угол кручения (рис. 1; 2).

Отношение угла закручивания φ к длине называют относительным углом закручивания

Закон Гука для малых деформаций кручения выражается формулой

M = G_кр.j

где G_кр.– модуль кручения.

Модуль кручения , помимо материала, зависит также от формы и размеров тела.

Представьте, перед вами цилиндр (или проволока). Если вы начнёте его (её) верхний конец поворачивать вдоль оси, закрепив нижний конец, то при повороте верхней грани на один радиан вы прикладываете вращающий момент, в точности равный модулю кручения (рис.1; 2). Это и есть его определение.

Модуль кручения G_кр показывает, какой момент силы нужно приложить, чтобы закрутить проволоку на угол в 1 рад.

Деформация кручения является частным случаем деформации сдвига.

Сдвиг

Сдвигом называют такую деформацию твердого тела, при которой все его плоские слои, параллельные некоторой плоскости сдвига, не искривляясь и не изменяясь в размерах, смещаются параллельно друг другу (рис. 3).

Деформация сдвига возникает под действием сил, приложенных к двум противоположным граням тела так, как показано на рисунках 3; 4. Эти силы вызывают смещение слоев тела, параллельных направлению сил. Расстояние между слоями не изменяется. Любой прямоугольный параллелепипед, мысленно выделенный в теле, превращается в наклонный.

Мерой деформации сдвига является угол сдвига γ — угол наклона вертикальных граней (рис. 5).

Сдвиг происходит под действием касательной силы F, приложенной к грани ВС, параллельной плоскости сдвига. Грань АД, параллельная ВС, закреплена неподвижно.

Так как угол мал, формулу можно записать в виде:

где СС₁ = D X — абсолютный сдвиг, γ — угол сдвига, называемый также относительным сдвигом, выражается в радианах.

По закону Гука относительный сдвиг γ пропорционален касательному напряжению τ = F/S, где S — площадь поверхности грани ВС, т.е.

где G — модуль сдвига.

Закон Гука для малой деформации сдвига выражается формулой:

Коэффициент G, зависящий от материала тела, называется модулем сдвига и характеризует упругие свойства тела при деформации сдвига. Например, для стального образца G = 76 ГПа.

Модуль сдвига равен касательному напряжению, которое возникло бы в образце при относительном сдвиге, равном 1 (при условии, что закон Гука выполняется).

Деформацию сдвига испытывают, например, заклепки и болты, соединяющие металлические конструкции. Сдвиг при больших углах приводит к разрушению тела — срезу. Срез происходит при работе ножниц, пилы и др.

Обратите внимание на принципиальное отличие модуля кручения от модуля сдвига, который зависит только от материала. Модуль кручения зависит не только от материала, но ещё и от диаметра и от длины цилиндра.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Увлечёшься девушкой-вырастут хвосты, займёшься учебой-вырастут рога 9591 — | 7566 — или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Цель работы:с помощью крутильного маятника определить модули кручения и сдвига проволоки.

Приборы и принадлежности:крутильный маятник, секундомер, штангенциркуль, линейка.

Методика и техника эксперимента

Крутильный маятник представляет собой упругий стержень, один конец которого закреплен, а к другому прикреплено массивное тело таким образом, что его центр инерции находится на оси стержня ОО₁.

Если тело повернуть на небольшой угол вокруг оси ОО₁ и предоставить самому себе, то оно начнет совершать крутильные колебания.

Можно показать, что величина периода крутильных колебаний Т зависит от упругих свойств проволоки и момента инерции маятника.

Если на тело действует пара сил, то численное значение вращающего момента по основному закону вращательного движения

,

где: — угловое ускорение; J – момент инерции маятника относительно оси ОО₁.

Момент упругих сил, возникающих в образце при кручении, по закону Гука равен

,

где D — модуль кручения. Поэтому

.

Последнее уравнение представляет собой дифференциальное уравнение крутильных колебаний. Его можно привести к виду:

.

Как нетрудно увидеть путем прямой подстановки, решение данного уравнения имеет вид:

,

т.е. угол j изменяется по гармоническому закону, тело совершает гармонические колебания с циклической частотой и периодом

. (1)

В используемой экспериментальной установке к нижнему концу вертикально висящей проволоки СD прикрепляется горизонтальный стержень AB со средним грузом M и двумя равными перемещаемыми грузами т. Если на концы стержня AB подействовать парой сил, создающей вращающий момент, а затем систему предоставить самой себе, то она будет совершать крутильные колебания в горизонтальной плоскости.

В основе данной работы лежит соотношение (1), в котором J — момент инерции системы относительно оспСD, D — модуль кручения, T — период крутильных колебаний.

Модуль крученияD можно определить, не зная момента инерции всей системы J относительно оси СD, но зная моменты инерции относительно СD небольших по объему массивных грузов т, располагая их на минимальном l₁ и максимальном l₂ расстояниях. Обозначая периоды колебаний маятника для этих двух случаев Т₁ и Т₂, получим из выражения (1):

, .

Вычтем из второго равенства первое

и выразим отсюда

. (2)

Принимая грузы m за материальные точки, моменты инерции системы J₁ и J₂ можно найти как

, , (3)

где J₀ – момент инерции стержня со средним грузом. Подставляя (3) в (2), получаем:

.

Выражая периоды Т₁ и Т₂ через время t₁ и t₂ n колебаний при расположении грузов m на расстояниях соответственно l₁ и l₂

, ,

получаем расчётную формулу для модуля кручения материала проволоки маятника

. (4)

Поскольку деформации кручения являются частным случаем сдвиговых деформаций, модуль кручения связан с модулем сдвига соотношением:

, (5)

где: d – диаметр проволоки СD; L – её длина.

Порядок выполнения работы

1. Поместить грузы m на минимальное расстояние от оси проволоки и однократно измерить расстояние от ее оси до центра подвижных грузов l₁.

2. Повернуть крутильный маятник на угол порядка 5°, предоставить его самому себе и по секундомеру отсчитать время п = 20 полных колебаний t₁. Повторить операцию 5-7 раз.

3. Выполнить пункты 1, 2 для максимального расстояния грузов l₂ от оси проволоки.

4. Однократно измерить штангенциркулем диаметр d проволоки маятника.

5. Записать в таблицу длину проволоки L, массу грузаm и данные проведённых измерений.

6. Произвести математическую обработку результатов измерений, найти по формулам (4) и (5) модули кручения D и сдвига G, а также их погрешности , .

Таблица измерений

1. Какие деформации называются упругими?.

2. Сформулируйте и запишите закон Гука применительно к деформациям кручения и сдвига.

3. Какой физический смысл модуля кручения и модуля сдвига?