Как обозначаются пересекающиеся прямые

1. Геометрическая фигура или поверхность обозначается буквой Ф.

2. Точки обозначаются прописными буквами латинского алфавита, арабскими или римскими цифрами:

A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W

1, 2, 3, 4, … , 10, 11, 12…

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X…

3. Линии, произвольно расположенные относительно плоскостей проекций, а также кривые второго или третьего порядка обозначаются строчными буквами латинского алфавита:

Линии уровня обозначаются:

h – горизонталь;

f – фронталь;

p – профильная прямая;

Прямые линии обозначаются:

(AB) – прямая, проходящая через точки A и B.

[AB)– луч с началом в точке A .

[AB]– отрезок прямой, ограниченный точками A и B.

4. Поверхности обозначаются строчными буквами греческого алфавита:

α, β, γ, δ, ε, ζ, η, θ, ι, κ, λ, μ, ν, ξ, ο, π, ρ, ς, σ, τ, υ, φ, χ, ψ, ω

5. Углы обозначаются:

∠ABC – угол с вершиной в точке B или ∠ α o ;

Угловая величина (градусная мера) обозначается знаком ∧ над углом:

– величина ∠ABC ;

– величина ∠ α o ;

6. Расстояния между объектами:

|AB| – расстояние от точки A до точки B ;

|Aa| – расстояние от точки A до прямой a ;

|ab| – расстояние между прямыми a и b;

|Aα| – расстояние от точки A до плоскости α ;

|αβ| – расстояние между плоскостями α и β .

7. Плоскости проекций обозначаются:

П1 – горизонтальная плоскость проекций;

П2 – фронтальная плоскость проекций;

П3 – профильная плоскость проекций.

8. Оси проекций обозначаются буквами x – ось абсцисс, y – ось ординат, z – ось аппликат.

xA – широта точки A;

yA – глубина точки A;

zA – высота точки A;

9. Проекции точек, линий поверхностей обозначаются теми же буквами, что и оригинал, с добавлением нижнего индекса, соответствующего плоскости проекций:

A1 – горизонтальная проекция точки A;

A2 – фронтальная проекция точки A;

A3 – профильная проекция точки A.

Горизонтальные проекции обозначаются индексом 1, фронтальные – индексом 2, профильные – индексом 3.

Знаки, выражающие отношения между геометрическими образами

= – равенство, результат действия;

× – пересечение, в случае, когда результатом пересечения является точка;

∈ принадлежность: A∈ α – точка A принадлежит линии l;

⊂ включение:α ⊂ γ– поверхность γ включает в себя линию a, или множество точек линии a является подмножеством поверхности γ ;

∪ объединение множеств: [ABCD]=[AB]∪[BC]∪[CD] – ломаная линия есть объединение отрезков AB , BC и CD ;

∩ – пересечение множеств, в случае, когда результатом пересечения является множество точек: a= α ∩ β – прямая a есть результат пересечения плоскостей α и β.

Символы, обозначающие логические операции

⇒ – импликация – логическое следствие, обозначает – если, …то, следовательно;

⇔ – если (в том только случае), эквивалентность;

∧ – коньюнкция предложений, соответствует союзу «и»;

∀ – квантор общности, читается «для всякого», «для любого».

10 класс

Материалы к зачетной работе по теме
"Основные понятия и аксиомы стереометрии.
Параллельность прямых и плоскостей"

Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.

Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «στερεοσ» — объемный, пространственный и «μετρεο» — измерять.

Простейшие фигуры в пространстве: точка, прямая, плоскость.

Аксиомы стереометрии и их следствия

Аксиома 2.
Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. (Прямая лежит на плоскости или плоскость проходит через прямую).

Читайте также:  Как отшлифовать нож в домашних условиях

Из аксиомы 2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.

Аксиома 3.
Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

В таком случае говорят, плоскости пересекаются по прямой.

Пример: пересечение двух смежных стен, стены и потолка комнаты.

Некоторые следствия из аксиом

Теорема 2.
Через две пересекающиеся прямые a и b проходит плоскость, и при том только одна.

Параллельные прямые в пространстве

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Теорема о параллельных прямых.

Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Лемма о пересечении плоскости параллельными прямыми.

Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Теорема о трех прямых в пространстве.

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны (если ac и bc, то ab).

Параллельность прямой и плоскости

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Признак параллельности прямой и плоскости


Теорема.

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Теорема.
Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

Теорема.
Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Взаимное расположение прямых в пространстве

Пересекающиеся прямые:
лежат в одной плоскости, имеют одну общую точку.

Параллельные прямые:
лежат в одной плоскости, не имеют общих точек (не пересекаются)

Скрещивающиеся прямые:
не лежат в одной плоскости, не имеют общих точек (не пересекаются)

Признак параллельности двух плоскостей

Теорема.
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости , то эти плоскости параллельны.
Если аа1 и bb1, то α∥β.

Свойства параллельных плоскостей

Вели α∥β и они пересекаются с γ, то аb.

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Если α∥β и AB∥CD, то АВ = CD.

Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Параллельные, пересекающиеся, скрещивающиеся прямые в пространстве.

Параллельные прямые: если две прямые в пространстве параллельны друг другу, то на комплексном чертеже их все одноименные проекции также параллельны.

Пересекающиеся прямые: если две прямые в пространстве пересекаются, то на комплексном чертеже их одноименные проекции пересекаются, и точки пересечения этих проекций лежат на одной линии связи.

Скрещивающиеся прямые: если две прямые в пространстве не параллельны и не пересекаются, то они скрещиваются. На комплексном чертеже одноименные проекции могут пересекаться, но точки их пересечения не будут лежать на одной линии связи.

Изображение точки на прямой (ее принадлежность)

Точка и прямая в пространстве могут быть различно расположены относительно друг друга и плоскостей проекций. Если точка в пространстве принадлежит прямой, то ее проекции должны лежать на одноименных проекциях этой прямой.

10. Пололожение скрещивающихся прямых положено в основу метода конкурирующих точек, который используется для определения видимости геометрических элементов (рис. 26):

1) Чтобы определить видимость в горизонтальной проекции конкурирующих точек двух скрещивающихся прямых m и n, необходимо через точку пересечения горизонтальных проекций этих прямых (11≡21) провести линию связи до фронтальных проекций этих же прямых. Найденные точки 12и 22будут являться

Читайте также:  Как пользоваться штроборезом видео

фронтальными проекциями конкурирующих точек. Видимой будет та точка, которая расположена

выше, т.е. больше высота (в данном случае – точка 1).

2) Чтобы определить видимость во фронтальной проекции конкурирующих точек двух скрещивающихся прямых m и n, необходимо через точку пересечения горизонтальных проекций этих прямых (32≡42) провести линию связи до горизонтальных проекций этих же прямых. Полученные точки 31 и 41

будут являться горизонтальными Рис. 26

проекциями конкурирующих точек. Видимой будет та точка, которая расположена дальше от плоскости П2, т.е. больше глубина (в данном случае – точка 4).

11.Плоскостью называется поверхность, образуемая движением прямой линии параллельно самой себе по неподвижной направляющей прямой.

На чертеже плоскость может быть задана следующими способами:

1) Любой плоской фигурой

2) Тремя точками, не принадлежащими одной прямой

3) Прямой и точкой вне ее

4) Двумя параллельными прямыми

5) Двумя пересекающимися прямыми

6) Следами плоскости

12. Плоскость общего положения – это плоскость, которая не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций, т.е. со всеми плоскостями проекций составляет произвольные углы.

13.Проецирующая плоскость –плоскость, которая перпендикулярна одной из плоскостей , выражается на ней в прямую линию ,совпадающую со следами проецирующих плоскостей .С другими плоскостями проекций образует произвольные углы.

14.(а)Фронтально-проецирующая плоскостьперпендикулярна плоскости проекции V .Проецирующая на данную плоскость проекций в прямую линию. С плоскостями проекций Hи Wплоскость образует произвольные углы.

а б в
(б)Горизонтально-проецирующая плоскостьперпендикулярна плоскости проекцийН.Проецируется на данную плоскость проекций в прямую линию . С плоскостями проекций WиVплоскость образует произвольные углы.

(в)Профильно-проецирующая плоскость перпендикулярна плоскости проекцииW . Проецирующая на данную плоскость проекций в прямую линию. С плоскостями проекций Hи V имеет произвольные углы.

15.Плоскость уровня-плоскость ,параллельная одной из основных плоскостей проекций и перпендикулярна двум другим плоскостям .

16.Фронтальная плоскость уровня плоскость, параллельная плоскости проекции V и перпендикулярна H и W.

Горизонтальная плоскость уровня- плоскость, параллельная плоскости проекции H и перпендикулярна V и W.

Профильная плоскость уровня- плоскость, параллельная плоскости проекции W и перпендикулярна H и V.

17. Следы плоскости- прямые, по которым плоскость пересекается с плоскостями проекций. След плоскости обозначают заглавной буквой, которая принята для обозначения самой плоскости, с буквенным индексом внизу (например , Pv, P h, Pw) . Виды следов: Pv – фронтальный след плоскости Р; Ph – горизонтальный след; Pw – профильный след.

19) 1.вид сверху (главный вид)V

2.вид сверху(под видом впереди)H

3. вид слева (справа от главного вида)W

4.вид справа(слева от главного вида)W1

5.вид снизу(над главным видом)H1

6.вид сзади(справа от вида слева или слева от вида справа)V1

20) Если же виды сверху, слева и справа не находятся в проекционной связи с главным изображением, то они отмечаются на чертеже надписью по типу "А". Направление взгляда указывается стрелкой, обозначаемой прописной буквой русского алфавита.

21)Разрезом называется изображение предмета, мысленно рассеченного одной или несколькимисекущимиплоскостями. Hа pазpезе показывают то, что расположено в секущей плоскости и что расположено за ней.

22. Какие вы знаете разрезы?

Рассмотрим простые разрезы.

Фронтальный разрез — изображение, полученное в резуль­тате мысленного рассечения детали секущей плоскостью, парал­лельной фронтальной плоскости проекций, и состоящее из фигу- ры сечения и изображения части детали, расположенной за се­кущей плоскостью.

Деталь помещают в систему плоскостей проекций (V, H или V, H, W) и мысленно рассекают секущей плоскостью, параллельной фронтальной плоскости проекций. Фигуру сечения и то, что расположено за секущей Плоскостью, проецируют на плос­кость V, получая изображение фронтального разреза (рис. 155).

Читайте также:  Встроенная варочная панель электрическая отзывы

Профильным разрезом называется изображение, полученное при мысленном рассечении детали секущей плоскостью, парал­лельной профильной плоскости проекций, и состоящее из фигуры сечения и изображения части детали, расположенной за ней.

Деталь помешают в систему плоскостей проекций (V, H или V, H, W) и мысленно рассекают секущей плоскостью, парал­лельной профильной плоскости проекций. Фигуру сечения и то, что расположено за секущей плоскостью, проецируют на плос­кость W, получая изображение профильного разреза (рис. 156).

Горизонтальный разрез — изображение, полученное при мысленном рассечении детали секущей плоскостью параллель­ной горизонтальной плоскости проекций, и состоящее из фигуры сечения и изображения части детали, расположенной за секущей плоскостью.

Рассмотрим сложные разрезы.

Ступенчатым называется сложный разрез, образован­ный двумя и более секущими параллельными плоскостями. Ступенчатые разрезы могут быть фронтальными, профиль­ными и горизонтальными.

Ломаным разрезом называется сложный разрез, образованный дву­мя пересекающимися плоскостями. На разрезах тонкие стенки, ребра жесткости, спицы показывают не заштрихованными, если секущая плоскость проходит вдоль оси или длинной стороны элемента детали.

23.Как обозначаются разрезы

Разрезы на чертеже, как правило, обозначаются. Однако есть случаи, когда обозначение разреза не наносится. Рассмотрим правила обозначения разрезов:

1. Если секущая плоскость совпадает с плоскостью симметрии детали, то разрез на чертеже не обозначается

2. Если секущая плоскость не совпадает с плоскостью симметрии детали, то разрез обозначается следующим образом. Положение секущей плоскости показывают штрихами разомкнутой линии. К штрихам разомкнутой линии на расстоянии 2-3 мм от внешнего края ставят стрелки, указывающие направление взгляда (рис. 180). С внешней стороны стрелок пишут прописные буквы русского алфавита. Изображение разреза подписывается надписью типа А-А, Б-Б (рис. 180).

24. Какая разница между разрезом и сечением

Отличие разреза от сечения

Сразу же стоит выделить, что разрез от сечения отличается не только правилом построения, как путают многие люди, имеющие дело непосредственно с чертежами. Признаков отличия несколько, и некоторые из них весьма существенные:

· Главное отличие кроется в том, что разрез показывает то, что расположено в секущей плоскости, а также за ней, в то время сечение показывает то, что внутри секущей плоскости.

· В некоторых случаях обозначение разреза не наносится на чертеж. Например, при совпадении секущей плоскости с плоскостью симметрии детали.

· Сечение имеет несколько нюансов при построении. Например, если несколько одинаковых сечений относятся к одному и тому же предмету, то его линии необходимо обозначать одинаковыми буквами. При этом вычеркивается одно сечение. Данное правило довольно часто не соблюдается, хотя является довольно важным при построении чертежа.

Несмотря на то, что разрез и сечения имеют очень много общего, TheDifference.ru определил, что разница между ними есть. Сечение и разрез отличают друг от друга по следующим признакам:

1. Правило построения.

2. Разрез показывает расположение как в секущей плоскости, так и вне нее. Сечение же только то, что внутри.

3. Сечения необходимы для показа поперечной формы деталей. Предмет мысленно рассекается одной или несколькими плоскостями. Сечение обозначается штриховкой для более ясного понимания.

4. Разрез в отдельных случаях можно не наносить на чертеж.

25. Как обозначаются сечения на чертежах?
сечение – это изображение фигуры, получающейся в одной или нескольких секущих плоскостях при мысленном рассечении предмета. Сечение – это составная часть каждого разреза. В сечении показывается только то, что получается непосредственно в самой секущей плоскости , а на разрезе ещё и то, что нах-ся за секущей плоскостью.