Измерение коэффициента жесткости пружины

Определение величины коэффициента жесткости пружины статическим и динамическим методами

Цель:вычислить и сравнить величины коэффициентов жесткости пружины, определенных статическим и динамическим методами.

Приборы и оборудование: штатив, набор пружин различной жесткости, набор грузов, линейка, секундомер.

1. Статический метод определения коэффициента упругости
Из закона Гука, определяющего линейную зависимость между механической деформацией тела и деформирующей силой в случае

(6.1)

можно определить коэффициент жесткости пружины. Определив удлинение Δl пружины для известной деформирующей силы F, в качестве которой выступает вес Р груза массой m, равный P=mg, определим коэффициент жесткости пружины:

(6.2)

2. Динамический метод определения коэффициента упругости
Из формулы Томсона для пружинного маятника (I.4) выразим коэффициент упругости k:

(6.3)

Используя данную формулу, можно рассчитать среднее значение k_дин, зная массу тела m, подвешенного на пружине жесткостью k и совершающего колебания малой амплитуды относительно оси пружины, и период T_ср, который можно рассчитать, определив, например, время t_ср для N=30 полных колебаний:

(6.4)

Порядок выполнения работы

1. Соберите пружинный маятник. Для этого на штативе укрепите указанную лаборантом или преподавателем одну из пружин набора, измерив ее начальную длину в недеформированном состоянии l₀, и подвесьте к ней один груз известной массы m₁ из набора грузов (см. рис.5).
2. Измерьте длину пружины в растянутом (деформированном) состоянии l и определите деформацию пружины Δl=l- l₀.
3. Повторите измерения и расчеты еще для двух грузов массами m₂ и m₃. Вычислите по формуле (6.2) значения k_ст и рассчитайте его среднее значение k_{ст ср} по формуле (0.3) и погрешность по формуле (0.4).
4. Заполните таблицу 1.

Результаты опыта по определению коэффициента жесткости пружины статическим методом

Номер опыта	Масса груза m, кг	Вес груза P, Н	Длина пружины		Деформация Δl, м	kст, Н/м	kст ср ±Δkст, Н/м
			начальная l0, м	после растяжения l, м
1
2
3

Не меняя пружины, подвесьте груз массой m₁ и измерьте время t₁ для N=60 полных колебаний груза малой амплитуды.

Не меняя пружины и груза, повторите измерения еще 4 раза.

Найдите среднее время для 60 колебаний t_ср=(t₁+t₂+┘+t₅)/5 и по формуле (6.4) рассчитайте среднее значение периода колебаний T_ср.

По формуле (0.4) рассчитайте абсолютную Δt и по формуле (0.6) — относительную погрешность времени ε_t.

Используя формулу (6.3), рассчитайте среднее значение динамического коэффициента жесткости исследуемой пружины k_дин.

Рассчитайте относительную погрешность коэффициента упругости по формуле ε_k=2ε_t, следующей из (0.8), и по формуле (0.9) определите абсолютную погрешность Δk.

Заполните таблицу 2.

Результаты опыта по определению коэффициента жесткости пружины динамическим методом

Номер опыта	Масса груза m, кг	Число колебаний N	Время колебаний t,с	tср,с	Период Tср, с	Коэффициент упругости kдин ср, Н/м
1
2
.
5
Δt= ; εt=		εk= ; Δk= ;

Сравнив значения k_{ст ср} и k_{дин ср}, сформулируйте и запишите вывод.

1. Виды деформации. Закон Гука.
2. Что называется жесткостью пружины и от чего она зависит?
3. Опишите превращение энергии при колебаниях пружинного маятника.
4. Какие силы действуют на груз в опыте? Запишите закон Ньютона для него. Выведите формулу (6.2).

Рано или поздно при изучении курса физики ученики и студенты сталкиваются с задачами на силу упругости и закон Гука, в которых фигурирует коэффициент жесткости пружины. Что же это за величина, и как она связана с деформацией тел и законом Гука?

Сила упругости и закон Гука

Для начала определим основные термины, которые будут использоваться в данной статье. Известно, если воздействовать на тело извне, оно либо приобретет ускорение, либо деформируется. Деформация — это изменение размеров или формы тела под влиянием внешних сил. Если объект полностью восстанавливается после прекращения нагрузки, то такая деформация считается упругой; если же тело остается в измененном состоянии (например, согнутом, растянутом, сжатым и т. д. ), то деформация пластическая.

Примерами пластических деформаций являются:

• лепка из глины;
• погнутая алюминиевая ложка.

В свою очередь, упругими деформациями будут считаться:

• резинка (можно растянуть ее, после чего она вернется в исходное состояние);
• пружина (после сжатия снова распрямляется).

В результате упругой деформации тела (в частности, пружины) в нем возникает сила упругости, равная по модулю приложенной силе, но направленная в противоположную сторону. Сила упругости для пружины будет пропорциональна ее удлинению. Математически это можно записать таким образом:

где F — сила упругости, x — расстояние, на которое изменилась длина тела в результате растяжения, k — необходимый для нас коэффициент жесткости. Указанная выше формула также является частным случаем закона Гука для тонкого растяжимого стержня. В общей форме этот закон формулируется так: «Деформация, возникшая в упругом теле, будет пропорциональна силе, которая приложена к данному телу». Он справедлив только в тех случаях, когда речь идет о малых деформациях (растяжение или сжатие намного меньше длины исходного тела).

Определение коэффициента жесткости

Коэффициент жесткости (он также имеет названия коэффициента упругости или пропорциональности) чаще всего записывается буквой k, но иногда можно встретить обозначение D или c. Численно жесткость будет равна величине силы, которая растягивает пружину на единицу длины (в случае СИ — на 1 метр). Формула для нахождения коэффициента упругости выводится из частного случая закона Гука:

Чем больше величина жесткости, тем больше будет сопротивление тела к его деформации. Также коэффициент Гука показывает, насколько устойчиво тело к действию внешней нагрузки. Зависит этот параметр от геометрических параметров (диаметра проволоки, числа витков и диаметра намотки от оси проволоки) и от материала, из которого она изготовлена.

Единица измерения жесткости в СИ — Н/м.

Расчет жесткости системы

Встречаются более сложные задачи, в которых необходим расчет общей жесткости. В таких заданиях пружины соединены последовательно или параллельно.

Последовательное соединение системы пружин

При последовательном соединении общая жесткость системы уменьшается. Формула для расчета коэффициента упругости будет иметь следующий вид:

1/k = 1/k1 + 1/k2 + … + 1/ki,

где k — общая жесткость системы, k1, k2, …, ki — отдельные жесткости каждого элемента, i — общее количество всех пружин, задействованных в системе.

Параллельное соединение системы пружин

В случае когда пружины соединены параллельно, величина общего коэффициента упругости системы будет увеличиваться. Формула для расчета будет выглядеть так:

k = k1 + k2 + … + ki.

Измерение жесткости пружины опытным путем — в этом видео.

Вычисление коэффициента жесткости опытным методом

С помощью несложного опыта можно самостоятельно рассчитать, чему будет равен коэффициент Гука. Для проведения эксперимента понадобятся:

• линейка;
• пружина;
• груз с известной массой.

Последовательность действий для опыта такова:

1. Необходимо закрепить пружину вертикально, подвесив ее к любой удобной опоре. Нижний край должен остаться свободным.
2. При помощи линейки измеряется ее длина и записывается как величина x1.
3. На свободный конец нужно подвесить груз с известной массой m.
4. Длина пружины измеряется в нагруженном состоянии. Обозначается величиной x2.
5. Подсчитывается абсолютное удлинение: x = x2-x1. Для того чтобы получить результат в международной системе единиц, лучше сразу перевести его из сантиметров или миллиметров в метры.
6. Сила, которая вызвала деформацию, — это сила тяжести тела. Формула для ее расчета — F = mg, где m — это масса используемого в эксперименте груза (переводится в кг), а g — величина свободного ускорения, равная приблизительно 9,8.
7. После проведенных расчетов остается найти только сам коэффициент жесткости, формула которого была указана выше: k = F/x.

Примеры задач на нахождение жесткости

Задача 1

На пружину длиной 10 см действует сила F = 100 Н. Длина растянутой пружины составила 14 см. Найти коэффициент жесткости.

1. Рассчитываем длину абсолютного удлинения: x = 14—10 = 4 см = 0,04 м.
2. По формуле находим коэффициент жесткости: k = F/x = 100 / 0,04 = 2500 Н/м.

Ответ: жесткость пружины составит 2500 Н/м.

Задача 2

Груз массой 10 кг при подвешивании на пружину растянул ее на 4 см. Рассчитать, на какую длину растянет ее другой груз массой 25 кг.

1. Найдем силу тяжести, деформирующей пружину: F = mg = 10 · 9.8 = 98 Н.
2. Определим коэффициент упругости: k = F/x = 98 / 0.04 = 2450 Н/м.
3. Рассчитаем, с какой силой действует второй груз: F = mg = 25 · 9.8 = 245 Н.
4. По закону Гука запишем формулу для абсолютного удлинения: x = F/k.
5. Для второго случая подсчитаем длину растяжения: x = 245 / 2450 = 0,1 м.

Ответ: во втором случае пружина растянется на 10 см.

Видео

Из этого видео вы узнаете, как определить жесткость пружины.

Суть метода заключается в том, что пружину нагружают силой определенной величины (в нашем случае, вес груза)

.

Дожидаются наступления статического равновесия пружины и замеряют ее деформацию под воздействием этой силы

.

Величина коэффициента жесткости

Далее определяются максимальное ( ) и минимальное ( ) значения коэффициента жесткости по следующим принципам

, (12)

, (13)

где , , , , , – максимальные и минимальные значения величин, задействованных в формулах.

Затем, поскольку коэффициент жесткости распределяется по симметричному «нормальному закону», по формулам, приведенным ниже для величин, определяются среднее значение коэффициента жесткости, половина доверительного интервала и относительная погрешность результата

(14)

(15)

. (16)

Определение коэффициента жесткости пружины методом строительной механики

Коэффициент жесткости определяется по зависимости

. (17)

С использованием формулы 17, а также зависимостей 12 и 13 определяются максимальное ( ) и минимальное ( ) значения коэффициента жесткости.

Затем, по формулам 14, 15 и 16 определяются среднее значение коэффициента жесткости, половина доверительного интервала и относительная погрешность результата.

ИТОГИ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ И ОФОРМЛЕНИЕ ОТЧЕТА

Итоги лабораторной работы

Анализируя полученные результаты необходимо сравнить методы определения коэффициента жесткости по критериям точности и сложности. Далее, дать оценку точности и достоверности полученных результатов, а также предложить меры по повышению точности результатов в случае неудовлетворительности последних.

Оформление отчета

Оформляется один отчет на бригаду на листах формата А4.

В отчете должны быть приведены все необходимые данные, расчеты и пояснения, результаты и выводы.

Отчет должен содержать следующие обязательные элементы: титульный лист с фамилиями выполнявших работу и проверяющего, оглавление с указанием номеров страниц начала разделов, нумерацию страниц, и разделы в следующем порядке:

1) исходные данные (см. п. 2.3),

2) определение статистических оценок измеренных величин,

3) определение коэффициента жесткости пружины статическим методом,

4) определение коэффициента жесткости пружины методом строительной механики,

Все появляющиеся первый раз переменные должны быть сопровождены пояснениями. Например,

деформация пружины – или

или

–модуль упругости стали при сдвиге.

У всех значений величин, имеющих размерность, должны стоять соответствующие единицы измерения. Все формулы должны быть раскрыты и сосчитаны. Например,

=176-138=38 мм.

Все рисунки и таблицы должны иметь названия и сквозную нумерацию.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. — М.: Наука, 1962. — 576 с.

2. ГОСТ 24026-80 Исследовательские испытания. Планирование эксперимента. Термины и определения.

3. Налимов В. В. Теория эксперимента – М.: Наука, 1971. — 207 с.

4. Румшиский Л.3. Математическая обработка результатов эксперимента – М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1971. – 192 с.

Приложение

	0.9	0.95	0.98	0.99	0.999
2.132	2.776	3.747	4.604	8.610
2.015	2.571	3.365	4.032	6.859
1.943	2.447	3.143	3.707	5.959
1.895	2.365	2.998	3.499	5.405
1.860	2.306	2.896	3.355	5.041
1.833	2.262	2.821	3.250	4.781
1.812	2.228	2.764	3.169	4.587
1.796	2.201	2.718	3.106	4.487
1.782	2.179	2.681	3.055	4.318
1.771	2.160	2.650	3.012	4.221
1.761	2.145	2.624	2.977	4.140
1.753	2.131	2.602	2.947	4.073
1.746	2.120	2.583	2.921	4.015
1.734	2.103	2.552	2.878	3.922
1.725	2.086	2.528	2.845	3.850
1.708	2.060	2.485	2.787	3.725
1.697	2.042	2.457	2.750	3.646
1.689	2.030	2.437	2.724	3.591
1.684	2.021	2.423	2.704	3.551
1.679	2.014	2.412	2.689	3.522
1.676	2.008	2.403	2.677	3.497
1.671	2.000	2.390	2.660	3.460
1.667	1.995	2.381	2.648	3.436
1.664	1.990	2.374	3.639	3.416
1.662	1.987	2.368	2.632	3.401
1.660	1.984	2.364	2.626	3.391
	1.645	1.960	2.326	2.576	3.291

Учебно-методическое пособие по выполнению расчетных работ

Одерышев Андрей Васильевич

ОСНОВЫ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

Печатается в авторской редакции

Подписано в печать Сдано в производство

Формат 1/16 Усл.-печ. л. Уч.-изд. л. 2.

Тираж 100 экз. Заказ №

Государственный университет морского и речного флота им. адм. С.О. Макарова,

198035, Санкт-Петербург, улица Двинская, 5/7

Отпечатали в типографии ФБОУ ВПО ГУМРФ

198035, Санкт – Петербург, Межевой канал, 2