Геометрическая фигура с 6 углами

шестиугольник — гексагон Словарь русских синонимов. шестиугольник сущ., кол во синонимов: 3 • гекзагон (1) • … Словарь синонимов

ШЕСТИУГОЛЬНИК — ШЕСТИУГОЛЬНИК, плоская фигура, имеюшая шесть сторон, сумма внутренних углов которой равна 720°. У обычного шестиугольника все стороны и углы равны, и каждый угол равен 120° … Научно-технический энциклопедический словарь

ШЕСТИУГОЛЬНИК — ШЕСТИУГОЛЬНИК, шестиугольника, муж. (мат.). Многоугольник с шестью углами. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова

шестиугольник — (6 угольник) … Орфографический словарь-справочник

шестиугольник — šešiakampis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. hexagon vok. Sechseck, n rus. шестиугольник, m pranc. hexagone, m … Fizikos terminų žodynas

Шестиугольник — м. 1. Геометрическая фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией, образующей шесть внутренних углов. 2. Пространство или предмет такой формы. Толковый словарь Ефремовой. Т. Ф. Ефремова. 2000 … Современный толковый словарь русского языка Ефремовой

шестиугольник — шестиугольник, шестиугольники, шестиугольника, шестиугольников, шестиугольнику, шестиугольникам, шестиугольник, шестиугольники, шестиугольником, шестиугольниками, шестиугольнике, шестиугольниках (Источник: «Полная акцентуированная парадигма по А … Формы слов

шестиугольник — шестиуг ольник, а … Русский орфографический словарь

шестиугольник — (2 м); мн. шестиуго/льники, Р. шестиуго/льников … Орфографический словарь русского языка

шестиугольник — шестиуго/льник, а (6 уго/льник) … Слитно. Раздельно. Через дефис.

Тему многоугольников проходят в школьной программе, но не уделяют ей достаточного внимания. А между тем она интересна, и особенно это касается правильного шестиугольника или гексагона — ведь эту форму имеют многие природные объекты. К ним относятся пчелиные соты и многое другое. Эта форма очень хорошо применяется на практике.

Определение и построение

Правильным шестиугольником называется плоскостная фигура, имеющая шесть равных по длине сторон и столько же равных углов.

Если вспомнить формулу суммы углов многоугольника

то получается, что в этой фигуре она равна 720°. Ну а поскольку все углы фигуры равны, нетрудно посчитать, что каждый из них равен 120°.

Начертить шестиугольник очень просто, для этого достаточно циркуля и линейки.

Пошаговая инструкция будет выглядеть так:

1. чертится прямая линия и на ней ставится точка;
2. из этой точки строится окружность (она является ее центром);
3. из мест пересечения окружности с линией строятся еще две таких же, они должны сойтись в центре.
4. после этого отрезками последовательно соединяются все точки на первой окружности.

При желании можно обойтись и без линии, начертив пять равных по радиусу окружностей.

Полученная таким образом фигура будет правильным шестиугольником, и это можно доказать ниже.

Свойства простые и интересные

Чтобы понять свойства правильного шестиугольника, его имеет смысл разбить на шесть треугольников:

Это поможет в дальнейшем нагляднее отобразить его свойства, главные из которых:

1. диаметр описанной окружности;
2. диаметр вписанной окружности;
3. площадь;
4. периметр.

Описанная окружность и возможность построения

Вокруг гексагона можно описать окружность, и притом только одну. Поскольку фигура эта правильная, то можно поступить довольно просто: от двух соседних углов провести внутрь биссектрисы. Они пересекутся в точке О, и образуют вместе со стороной между ними треугольник.

Углы между стороной гексагона и биссектрисами будут по 60°, поэтому можно определенно сказать, что треугольник, к примеру, АОВ — равнобедренный. А поскольку третий угол тоже будет равен 60°, то он еще и равносторонний. Отсюда следует, что отрезки ОА и ОВ равны, значит, могут служить радиусом окружности.

После этого можно перейти к следующей стороне, и из угла при точке С тоже вывести биссектрису. Получится очередной равносторонний треугольник, причем сторона АВ будет общей сразу для двух, а ОС — очередным радиусом, через который идет та же окружность. Всего таких треугольников получится шесть, и у них будет общая вершина в точке О. Получается, что описать окружность будет можно, и она всего одна, а ее радиус равен стороне гексагона:

R=а.

Именно поэтому и возможно построение этой фигуры с помощью циркуля и линейки.

Ну а площадь этой окружности будет стандартная:

S=πR²

Вписанная окружность

Центр описанной окружности совпадет с центром вписанной. Чтобы в этом убедиться, можно провести из точки О перпендикуляры к сторонам шестиугольника. Они будут являться высотами тех треугольников, из которых составлен гексагон. А в равнобедренном треугольнике высота является медианой по отношению к стороне, на которую она опирается. Таким образом, эта высота не что иное, как серединный перпендикуляр, являющийся радиусом вписанной окружности.

Высота равностороннего треугольника вычисляется просто:

h²=а²-(а/2)²= а²3/4, h=а(√3)/2

А поскольку R=a и r=h, то получается, что

r=R(√3)/2.

Таким образом, вписанная окружность проходит через центры сторон правильного шестиугольника.

Ее площадь будет составлять:

S=3πa²/4,

то есть три четверти от описанной.

Периметр и площадь

С периметром все ясно, это сумма длин сторон:

P=6а, или P=6R

А вот площадь будет равна сумме всех шести треугольников, на которые можно разбить гексагон. Поскольку площадь треугольника вычисляется как половина произведения основания на высоту, то:

S=6(а/2)(а(√3)/2)= 6а²(√3)/4=3а²(√3)/2 или

S=3R²(√3)/2

Желающим вычислять эту площадь через радиус вписанной окружности можно сделать и так:

Занимательные построения

В гексагон можно вписать треугольник, стороны которого будут соединять вершины через одну:

Всего их получится два, и их наложение друг на друга даст звезду Давида. Каждый из этих треугольников — равносторонний. В этом нетрудно убедиться. Если посмотреть на сторону АС, то она принадлежит сразу двум треугольникам — ВАС и АЕС. Если в первом из них АВ=ВС, а угол между ними 120°, то каждый из оставшихся будет 30°. Отсюда можно сделать закономерные выводы:

1. Высота АВС из вершины В будет равна половине стороны шестиугольника, поскольку sin30°=1/2. Желающим убедиться в этом можно посоветовать пересчитать по теореме Пифагора, она здесь подходит как нельзя лучше.
2. Сторона АС будет равна двум радиусам вписанной окружности, что опять-таки вычисляется по той же теореме. То есть АС=2(a(√3)/2)=а(√3).
3. Треугольники АВС, СДЕ и АЕF равны по двум сторонам и углу между ними, и отсюда вытекает равенство сторон АС, СЕ и ЕА.

Пересекаясь друг с другом, треугольники образуют новый гексагон, и он тоже правильный. Доказывается это просто:

1. Угол АВF равен углу ВАС. Таким образом, получившийся треугольник с основанием АВ и безымянной вершиной напротив него — равнобедренный.
2. Все такие же треугольники, основанием которых служит сторона гексагона, равны по стороне и прилегающей к ней углам.
3. Треугольники при вершинах гексагона являются равносторонними и равными, что вытекает из предыдущего пункта.
4. Углы новообразованного шестиугольника равняются 360-120-60-60=120°.

Таким образом, фигура отвечает признакам правильного шестиугольника — у нее шесть равных сторон и углов. Из равенства треугольников при вершинах легко вывести длину стороны нового гексагона:

d=а(√3)/3

Она же будет радиусом описанной вокруг него окружности. Радиус вписанной будет вдвое меньше стороны большого шестиугольника, что было доказано при рассмотрении треугольника АВС. Его высота составляет как раз половину стороны, следовательно, вторая половина — это радиус вписанной в маленький гексагон окружности:

r₂=а/2

Площадь нового шестиугольника можно посчитать так:

Получается, что площадь гексагона внутри звезды Давида в три раза меньше, чем у большого, в который вписана звезда.

От теории к практике

Свойства шестиугольника очень активно используются как в природе, так и в различных областях деятельности человека. В первую очередь это касается болтов и гаек — шляпки первых и вторые представляют собой ничто иное, как правильный шестигранник, если не брать в расчет фаски. Размер гаечных ключей соответствует диаметру вписанной окружности — то есть расстоянию между противоположными гранями.

Нашла свое применение и гексагональная плитка. Она распространена куда меньше четырехугольной, но класть ее удобнее: в одной точке смыкаются три плитки, а не четыре. Композиции могут получаться очень интересные:

Выпускается и бетонная плитка для мощения.

Распространенность гексагона в природе объясняется просто. Таким образом, проще всего плотно уместить круги и шары на плоскости, если у них одинаковый диаметр. Из-за этого у пчелиных сот такая форма.

Учебный курс

Решаем задачи по геометрии

Развернуть структуру обучения Свернуть структуру обучения

Шестиугольник — это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно шести.

Выпуклый шестиугольник — это многоугольник, с общим количеством вершин, равным шести, при этом все точки такого шестиугольника лежат по одну сторону от прямой, которая проведена между двумя любыми соседними его вершинами.

Чему равна сумма углов выпуклого шестиугольника?

Сумма углов выпуклого шестиугольника определяется по общей формуле 180°(n-2) и равна 180 ( 6 — 2 ) = 720 градусов. См. теорему о сумме углов многоугольника.

При решении задач для нахождения площади произвольного (неправильного) шестиугольника используют метод трапеций, который заключается в разбиении фигуры на отдельные трапеции, площадь каждой из которых можно найти по известным всем формулам.

Правильный шестиугольник

Правильный шестиугольник — это шестиугольник, все стороны которого равны между собой.

Свойства правильного шестиугольника

• все внутренние углы равны между собой
• каждый внутренний угол правильного шестиугольника равен 120 градусам
• все стороны равны между собой
• сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности
• правильный шестиугольник заполняет плоскость без пробелов и наложений

• всі внутрішні кути рівні між собою
• кожен внутрішній кут правильного шестикутника дорівнює 120 градусам
• всі сторони рівні між собою сторона правильного шестикутника дорівнює радіусу описаного кола
• правильний шестикутник заповнює плоскість без пропусків і накладень

Формулы для правильного шестиугольника

(по порядку следования формул)

• Радиус описанной окружности (R) правильного шестиугольника равен его стороне (t)
• Все внутренние углы равны 120 градусам
• Радиус вписанной окружности (r) равен корню из трех, деленному на два и умноженному на длину стороны t (радиус описанной окружности R)
• Периметр правильного шестиугольника (P) равен шести радиусам описанной окружности (R) или четыре корня из трех, умноженным на радиус вписанной окружности (r)
• Площадь правильного шестиугольника равна трем корням из трех пополам, умноженным на квадрат радиуса описанной окружности (R) или квадрат стороны (t); либо площадь правильного шестиугольника равна двум корням из трех, умноженным на квадрат радиуса вписанной окружности (t)

Задача

Найти объем цилиндра, вписанного в правильную шестиугольную призму, каждое ребро которой равно t .

Решение.
Так как высота цилиндра Н равна высоте призмы и равна а, достаточно найти радиус основания цилиндра, который будет равен радиусу окружности, вписанной в правильный шестиугольник.

Знайти об’єм циліндра, вписаного в правильну шестикутну призму, кожне ребро якої дорівнює t .

Рiшення.
Так як висота циліндра Н дорівнює висоті призми і дорівнює а, достатньо знайти радіус основи циліндра, який буде дорівнювати радіусу кола, вписаного в правильний шестикутник.