Формулы для правильного шестиугольника

Правильным шестиугольником называется выпуклый многоугольник с шестью одинаковыми сторонами и шестью углами.

Формулы для правильного шестиугольника

Внутренние углы в правильном шестиугольнике равны (120^circ):
(alpha = 120^circ)

Апофема правильного шестиугольника (перпендикуляр, проведенный из центра к любой стороне)
(m = alargefrac<<sqrt 3 >><2>
ormalsize)

Радиус вписанной окружности правильного шестиугольника равен апофеме:
(r = m = alargefrac<<sqrt 3 >><2>
ormalsize)

Радиус описанной окружности равен стороне правильного шестиугольника:
(R = a)

Периметр правильного шестиугольника
(P = 6a)

Площадь правильного шестиугольника
(S = pr = largefrac<<3sqrt 3 >><2>
ormalsize),
где (p) − полупериметр шестиугольника.

Определение

Выпуклый многоугольник называется правильным, если все его стороны равны и все его углы равны.

Замечание

Т.к. сумма всех углов (n) –угольника равна (180^circ(n-2)) , то каждый угол правильного (n) –угольника равен [alpha_n=dfracn cdot 180^circ]

Пример

Каждый угол правильного четырехугольника (т.е. квадрата) равен (dfrac <4-2>4cdot 180^circ=90^circ) ;

каждый угол правильного шестиугольника равен (dfrac<6-2>6cdot 180^circ=120^circ) .

Теоремы

1. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

2. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Следствия

1. Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается всех его сторон в серединах.

2. Центры вписанной и описанной окружности у правильного многоугольника совпадают.

Теорема

Если (a) – сторона правильного (n) –угольника, (R) и (r) – радиусы описанной и вписанной окружностей соответственно, то верны следующие формулы: [egin S&=dfrac n2ar\ a&=2Rcdot sindfrac<180^circ>n\ r&=Rcdot cosdfrac<180^circ>n end]

Формулы для правильного шестиугольника

Свойства правильного шестиугольника

1. Сторона равна радиусу описанной окружности: (a=R) .

2. Радиус описанной окружности является биссектрисой угла правильного шестиугольника.

3. Все углы правильного шестиугольника равны (120^circ) .

4. Площадь правильного шестиугольника со стороной (a) равна (dfrac<3sqrt<3>><2>a^2) .

5. Диагонали пересекаются в одной точке и делят его на 6 равносторонних треугольников, у которых высота равна радиусу (r) вписанной в правильный шестиугольник окружности.

Читайте также:  Вольтметр в сети переменного тока

6. Инвариантен относительно поворота плоскости на угол, кратный (60^circ) относительно центра описанной окружности (слово “инвариантный” означает, что при таких поворотах правильный шестиугольник перейдёт в себя, то есть такие повороты являются его симметриями).

Замечание

В общем случае правильный (n) -угольник инвариантен относительно поворота на угол (dfrac<360^circ>) .

Правильный шестиугольник — это такой шестиугольник у которого все шесть сторон равны и его шесть углов равны.

Формулы для правильного шестиугольника

Центр правильного шестиугольника — на рисунке точка O равноудалена от вершин.

Светлая линия обозначающая высоту треугольника AOB : h называется — апофемой.

Отрезки OA , OB — радиусы правильного шестиугольника.

Обозначения на рисунке для правильного шестиугольника

n=6число сторон и вершин правильного шестиугольника,шт
αцентральный угол правильного шестиугольника,радианы, °
βполовина внутреннего угла правильного шестиугольника,радианы, °
γвнутренний угол правильного шестиугольника,радианы, °
aсторона правильного шестиугольника,м
Rрадиусы правильного шестиугольника,м
pполупериметр правильного шестиугольника,м
Lпериметр правильного шестиугольника,м
hапофемы правильного шестиугольника,м

Основные формулы для правильного шестиугольника

Периметр правильного шестиугольника

Полупериметр правильного шестиугольника

Центральный угол правильного шестиугольника в радианах

Центральный угол правильного шестиугольника в градусах

Половина внутреннего угла правильного шестиугольника в радианах

Половина внутреннего угла правильного шестиугольника в градусах

Внутренний угол правильного шестиугольника в радианах

Внутренний угол правильного шестиугольника в градусах

Площадь правильного шестиугольника

Отсюда получим апофему правильного шестиугольника